Question

【题目】如图，已知点E是ABCD中BC边的中点，若∠ABE=∠BAE=60°，BC=4，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）连接AC，BF，求证：四边形ABFC为矩形；
（2）求四边形ABFC的周长和面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC．

∴∠ABE=∠ECF．

又∵点E为BC的中点，∴BE=CE．

在△ABE和△FCE中，

∴△ABE≌△FCE（ASA）．

∴AB=CF．

又AB∥CF，

∴四边形ABFC为平行四边形．

∴AE=EF．

∵∠ABE=∠BAE=60°，

∴AE=BE，即AF=BC

∴四边形ABFC为矩形

（2）解：∵在矩形ABFC中，∠ABE=∠BAE=60°，BC=4

∴△ABE是等边三角形，

∴AB=BE=2．

∴AC= =2 ．

∴四边形ABFC的周长=2（AB+AC）=2（2+2）=4+4．

S四边形ABFC=2 ×2=4

【解析】（1）利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；进而得出AB=FC，即可得出四边形ABFC是平行四边形，再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形，即可得出平行四边形ABFC是矩形．（2）由等边三角形的性质得出∠AFC=60°，AF=DF=4，得出CF=CD=2，由矩形的性质得出∠ACF=90°，得出AC= CF=2 ，即可得出四边形ABFC的面积=ACCF=4 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．