【题目】已知抛物线经过A（0，-3），B（-1，0），且抛物线对称轴为直线，E

是抛物线的顶点。

(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标E。

(2)在轴上是否存在点P，使得周长最短，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说

明理由。

(3)直线与抛物线交于C、D两点，Q是直线DC下方抛物线上的一点，是否存在点Q

使得的面积最大，若存在请求出最大面积，若不存在，请说明理由。

(4)抛物线上是否存在点M，使得是直角三角形，若存在，直接写出M点坐标，若不

存在，请说明理由。

参考答案：

【答案】(1)y=(x-1)-4,E(1,-4);(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析.

【解析】(1)由B,C关于直线对称，可得C的坐标；用待定系数法可求解析式，

再求顶点坐标；

（2）作A点关于x轴的对称点F（0，3），连接EF交x轴于P点，此时PA+PE最短；

（3）过Q点作QH轴，交DC于K点，设Q，K，，当QK有最大值时△QDC面积有最大值；

（4）存在，先画出直角三角形再计算即可.

（2）做A点关于x轴的对称点F（0，3），连接EF交x轴于P点，此时PA+PE最短，又因为AE的长是定植，所以此时三角形PAE周长最短，设直线EF为y=kx+b,由题可知：

（3）由题可知：D（-2，5）

过Q点作QH轴，交DC于K点，设Q，K

当QK有最大值时△QDC面积有最大值.

QK=，

〈0，

所以△QDC面积有最大值为。

（4）.

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