Question

【题目】如图，正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线L经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．

（1）点P的坐标为；
（2）求抛物线L的解析式；
（3）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）（2,2）
（2）解：设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c．

∵抛物线L经过O、P、A三点，

∴ ，解得： ，

∴抛物线L的解析式为y=﹣ +2x．

（3）解：∵点E是正方形内的抛物线上的动点，

∴设点E的坐标为（m，﹣ +2m）（0＜m＜4），

∴S△OAE+SOCE= OAyE+ OCxE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，

∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．

【解析】解：（1）∵OABC为正方形，且边长为4，对角线相交于点P，

∴点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（4，4），点P为OB的中点，

∴点P的坐标为（2，2）．

所以答案是：（2，2）．

【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和三角形的面积，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；三角形的面积=1/2×底×高才能得出正确答案．