Question

【题目】如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足=0， □ABCD的边AD与y轴交于点E(0，2)，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．

（1）求k的值；

（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；

（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

Answer 1

【答案】（1）k=4；（2）P1（1，4），Q1（0，6）；P2（-1，-4），Q2（0，-6）；P3（-1，-4），Q3（0，2）；（3）.

【解析】

试题（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；

（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；

（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN= HT由此即可得出结论．

试题解析：解：（1）∵ ，∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，∴xD=1，设D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t=2t﹣4，∴t=4，∴k=4；

（2）∵由（1）知k=4，∴反比例函数的解析式为，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：

如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则 =0，解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；

如图2所示；若ABQP为平行四边形，则，解得x=﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；

②如图3所示；当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴，解得x=﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

（3）连NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT=NH，∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF=∠ABH，在△BFN与△BHN中，∵BF=BH，∠ABF=∠ABH，BN=BN，∴△BFN≌△BHN，∴NF=NH=NT，∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°，∴MN=HT，∴=．