Question

【题目】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=1，DC=2，BC=3，点 P 是线段 BC 上一动点（不与点 B，C 重合），若△APD 是等腰三角形，则 CP 的长是_______________．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

过A作AM⊥CD于M，根据勾股定理求出AD，分为三种情况：AD=DP或AD=AP或AP=DP，根据勾股定理求出CP，再逐个判断即可．

如图：

过A作AM⊥CD于M，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AMD=90,∠B=∠C=∠AMC=90，
∴四边形ABCM是矩形，
∴CM=AB=1，AM=BC=3，
∴DM=21=1，
由勾股定理得：AD=，
∵△APD是等腰三角形，
∴分为三种情况：
①AP=DP，设CP=x，则BP=3x，
在Rt△ABP和Rt△DCP中,由勾股定理得：AB2+BP2=CP2+DC2，
即12+(3x)2=x2+22，
解得：x=1，
CP=1；
②AD=DP=，
CP= =；
③AD=AP=，
BP= ==3，
CP=33=0，此时P和C重合，不符合题意舍去；
故答案为：1或.