Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为BC的中点．连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，现将△CEF绕点E顺时针旋转α角（其中0°≤α≤180°）得到△EC1F1 ， 旋转过程中，直线C1F1分别交射线EC、射线AE于点M、N，当EM=EN时，则CM= ．

Answer 1

【答案】6﹣
【解析】解：如图作EK⊥FC，EJ⊥MN垂足分别为K、J，延长JE交AB于G，作GH⊥AE垂足为H．
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=12，BE=EC
∴∠B=90°，BE=6，AE= =10，
∵△AEF是△AEB翻折，
∴∠B=∠AFE=90°，∠BAE=∠EAF，
∴∠BAF+∠BEF=180°，
∵∠BEF+∠FEC=180°，
∴∠FEC=∠BAF，
∵EF=EC，EK⊥FC，
∴∠FEK=∠CEK，
∴∠BAE=∠CEK，
∵∠ABE=∠EKF，
∴△ABE∽△EKF，
∴ ，即 ，
∴EK= ，
∵△EC1F1是由△EFC旋转，EK⊥FC，EJ⊥F1C1 ，
∴EJ=EK= ，
∵EM=EN，EJ⊥MN，
∴∠MEJ=∠NEJ，
∵∠GEB=∠MEJ，∠GEH=∠NEJ，
∴∠GEB=∠GEH，∵GB⊥BE，GH⊥HE，
∴GB=GH，设GB=GH=x，
在RT△AGH中，由AG2=GH2+AH2 ， 得（8﹣x）2=x2+42 ，
∴x=3，
∴BG=GH=3，AG=5，
∴EG= =，3 ，
∵∠BEG=∠MEJ，∠B=∠EJM=90°，
∴△EBG∽△EJM，
∴ ，
∴ ，
∴EM= ，
∴CM=EC﹣EM=6﹣ ．
所以答案是6﹣ ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换（折叠问题）的相关知识，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等，以及对旋转的性质的理解，了解①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．