Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

(1)求证：∠DAF＝∠CDE；

(2)求证：△ADF∽△DEC；

(3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）先根据四边形ABCD是平行四边形，得出∠B=∠ADC，再由∠AFE=∠B可得出∠AFE=∠ADC，通过等量代换可得出∠DAF=∠CDE；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可得出AD∥BC，∠ADE=∠CED，再根据∠DAF＝∠CDE，故可得出结论；
（3）先由四边形ABCD是平行四边形，可得出AD∥BC，CD=AB=4，再由AE⊥BC，得出AE⊥AD，由勾股定理求出DE的长，由△ADF∽△DEC可得出两三角形的边对应成比例，进而可得出AF的长．

解：（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠B=∠ADC

∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC

∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2

∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3

∴∠DAF=∠CDE

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，∴∠2=∠4

由（1）得∠1=∠3 ∴△ADF∽△DEC

(3)∵AE⊥BC，∴AE⊥AD

∴DE=

由（2）可知：△ADF∽△DEC，CD=AB=7

∴

∴

∴AF=