Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+1

（2）解：∵抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），

∴2m﹣7= m2﹣2m+1，

解得m1=m2=4，

∴点P的坐标为（4，1），

∵直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，

∴4k﹣2k﹣3=1，

解得k=2，

∴直线的解析式为y=2x﹣7，

∵y= x2﹣2x+1= （x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

∴在y=2x﹣7中，当x=2时，y=2×2﹣7=﹣3，

∴点Q的坐标为（2，﹣3）

（3）解：设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，根据题意得：

TM= PQ，即TM=PM=QM，

∴点T在以PQ为直径的圆上，

∴∠PTQ=90°，

∴△PQT为直角三角形，

同理，点M为PT或QT的中点时，△PQT仍为直角三角形，

作PA⊥y轴于A，交直线x=2于点C，QB⊥y轴于B，则AT=|1﹣t|，BT=|﹣3﹣t|，

∵PA=4，QB=2，PC=2，CQ=4，

∴PQ= = =2 ，

①当∠PTQ=90°时，

∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2

=|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42=20，

∴2t2+4t+10=0，即（t+1）2=﹣4，

∵（t+1）2≥0，

∴此方程无解；

②当∠PQT=90°时，PQ2+QT2=PT2，

∴（2 ）2+22+|﹣3﹣t|2=42+|1﹣t|2，

解得t=﹣2；

③当∠QPT=90°时，TQ2=PT2+PQ2，

∴QB2+BT2=PA2+AT2+（2 ）2，

∴4+|﹣3﹣t|2=16+|1﹣t|2+20，

解得t=3，

综上所述，在y轴上存在点T，其坐标分别为（0，3）和（0，﹣2），使△PQT的一边中线等于该边的一半．

【解析】（1）根据抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），求得a，b的值即可得到抛物线的解析式；（2）先根据抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），求得点P的坐标，再根据直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，求得k的值，最后根据抛物线的对称轴为直线x=2，求得点Q的坐标；（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，分三种情况讨论：∠PTQ=90°时，∠PQT=90°时，∠QPT=90°时，分别根据勾股定理列出关于t的方程进行求解即可．