Question

【题目】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF。设CE=a，CF=b。

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；

（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；

（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）a=b＝；（2）①当∠AEF=90°时，a=4，b=8，②当∠AFE=90°时，a=8，b=4;（3）ab=32，理由见解析.

【解析】分析：（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；（3）先判断出∠AFD=∠CEF，再判断出AF=EF，从而得到△ADF≌△FCE即可．

本题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，

∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被对角线AC平分，∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中，

，

∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，

∵CE=a，CF=b，∴a=b；

（2）当△AEF是直角三角形时，

①当∠AEF=90°时，△ABEF≌△ECF，∴a=4，b=8，

②当∠AFE=90°时，△ADF≌△FCE，∴a=8，b=4．

（3）ab=32，

理由：如图，

∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，

∴∠BAG=∠AFC，

∵∠BAC=45°，

∴∠BAG+∠CAF=45°，

∴∠AFC+∠CAF=45°，

∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，

∴∠CAF=∠AEC，

∵∠ACF=∠ACE=135°，

∴△ACF∽△ECA，

∴，

∴EC×CF=AC2=2AB2=32

∴ab=32．