Question

【题目】如图1，直线l : 经过定点P，交x、y轴于A、B两点.

（1）如图1，直接写出点P的坐标__________________；

（2）如图2，当k=—1时，点C为y轴负半轴上一动点，过点P作PD⊥PC交x轴于点D，M、N分别为CD、OA的中点，求的值；

（3）如图3，E、F两点在射线OP上移动，EF=，点E向上移动2个单位得到点G，点E横坐标为 t（t>0），在x轴负半轴上有点H（—2t，0），FG与HE相交于Q点，求证：点Q在某条直线上运动，并求此直线的解析式.

Answer 1

【答案】（1）（2，2）；（2）；（3）点Q在直线上运动.

【解析】

（1）将直线l解析式变形可得到定点坐标；

（2）过点P作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF垂足为F，首先证明△EPC≌△FDP，设C（0，m），则PF=CE=2-m，易得D（4-m，0），然后根据k=-1求出A点坐标，可得AD=-m，利用中点坐标公式和两点间距离公式求出MN，问题得解；

（3）如图3，延长GE交x轴于点J，则GJ⊥x轴，过点F作FK⊥GJ于点K，由OP所以直线解析式为y=x，可求得F点、G点坐标，然后用待定系数法求出直线HE和直线FG解析式，求出交点Q的坐标，即可解得点Q在直线上运动.

解：（1）∵，

∴当x=2时，y=2，

∴定点P的坐标是（2，2）；

（2）如图2，过点P作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF垂足为F，

∵P（2，2），∴PE=OE=DF=2，

∵PD⊥PC，

∴∠EPC+∠FPD=90°，

∵∠EPC+∠ECP=90°，

∴∠FPD=∠ECP，

在△EPC和△FDP中， ，

∴△EPC≌△FDP（AAS），

∴PF=CE，

设C（0，m），则PF=CE=2-m，

∴OD=PE+PF=4-m，

∴D（4-m，0），

当k=-1时，直线l解析式为：，

∴A（4,0），AD=-m，

∵M、N分别为CD、OA的中点，

∴M(，)，N（2,0），

∴MN=，

∴；

（3）如图3，延长GE交x轴于点J，则GJ⊥x轴，过点F作FK⊥GJ于点K，

∵E、F两点在射线OP上移动且P（2，2），

∴OP所以直线解析式为：y=x，

∴∠EOJ=∠EFK =45°，

∵EF=，

∴EK=FK=EG=2，

∵E（t,t），

∴G（t，t+2），F（t-2，t-2），

设直线HE解析式为：y=kx+b（k≠0），

将点E（t,t），H（-2t,0）代入可得：，

解得：，

∴直线HE解析式为：y=x+，

设直线FG解析式为：y=k1x+b1（k≠0），

将点 G（t，t+2），F（t-2，t-2）代入可得：，

解得：，

∴直线FG解析式为：y=2x+2-t，

联立 ，解得：，

即Q(，)，

∵，

∴点Q在直线上运动.