Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；
（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.

Answer 1

【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∴△ABC的面积等于24，
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
∵S△ACB=S△ACD+S△ADB ，
∴S△ACB=ACCD+ABDE，
又∵AC=8，AB=10，
∴24=×8×CD+ABDE
∴DE=；
（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，
∴AB=AC+EB，
∵AC=AF+CF，CF=BE
∴AB=AF+2EB．
故答案为：AB=AF+2EB．

【解析】（1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，则有∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据S△ACB=S△ACD+S△ADB即可求得DE．
（3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+EB，AC=AF+CF即可证得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．