Question

【题目】某同学用两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起（如图1）固定△ABC不动，将△DEF沿线段AB向右平移．

（1）若∠A=60°，斜边AB=4，设AD=x（0≤x≤4），两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式；

（2）在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形，若能，请指出此时点D的位置，并说明理由；若不能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？

Answer 1

【答案】（1）y=（0≤x≤4）；(2) 不能为正方形，添加条件：AC=BC时，当点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形．

【解析】分析：（1）根据平移的性质得到DF∥AC，所以由平行线的性质、勾股定理求得GD=，BG==，所以由三角形的面积公式列出函数关系式；（2）不能为正方形,添加条件:AC=BC时,点D运动到AB中点时，四边形CDBF为正方形；当D运动到AB中点时，四边形CDBF是菱形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知CD=AB,BF=DE,所以AD=CD=BD=CF,又有BE=AD,则CD=BD=BF=CF,故四边形CDBF是菱形，根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件.

详解：（1）如图（1）

∵DF∥AC，

∴∠DGB=∠C=90°，∠GDB=∠A=60°，∠GBD=30°

∵BD=4﹣x，

∴GD=，BG==

y=S△BDG=××=（0≤x≤4）；

（2）不能为正方形，添加条件：AC=BC时，当点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形．

∵∠ACB=∠DFE=90°，D是AB的中点

∴CD=AB，BF=DE，

∴CD=BD=BF=BE，

∵CF=BD，

∴CD=BD=BF=CF，

∴四边形CDBF是菱形；

∵AC=BC，D是AB的中点．

∴CD⊥AB即∠CDB=90°

∵四边形CDBF为菱形，

∴四边形CDBF是正方形．