【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，选择一种情况加以说明；若不存在，说明理由．

参考答案：

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（﹣2.5，2）（3）（， ）

【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．将点A、B、C的坐标代入得到关于a、b、c的方程，从而可求得a、b、c的值；

（2）分为AB为菱形的边和AB为菱形的对角共可画出4种不同的图形，然后依据菱形对边平行，对角线互相平分的性质确定出点N的坐标即可；

（3）如图5所示：分别以点A和点P为直角的顶点作出等腰直角△APQ，然后由抛物线的对称轴方程求得点P的坐标，过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M．

然后证明△AOP≌△PMQ1，由全等三角形的性质可求得Q1M=OP=，PM=OA=2，于是可求得点Q1的坐标．

试题解析：（1）由题意可知；A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．

设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．则，解得：

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．

（2）如图1所示：

∵四边形ABNM为菱形，

∴OA=ON．

∴点N的坐标为（0，﹣2）．

如图2所示：

由勾股定理可知：AB=．

∵四边形ABMN为菱形，

∴NA∥BM，AN=AB，

∴点N的坐标为（﹣，2）．

如图3所示；

∵四边形ABMN为菱形，

∴NA∥BM，AN=AB．

∴点N的坐标为（，2）．

如图4所示：

∵四边形ABMN为菱形，

∴NA∥BM，AN=NB．

设点N的坐标为（x，2）．由两点间的距离公式可知：（x+1）2+22=x2．

解得：x=﹣2.5．

∴点N的坐标为（﹣2.5，2）．

∴点N的坐标为（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（﹣2.5，2）．

（3）如图5所示：

使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标为Q1（， ），Q2（﹣，﹣），Q3（2， ），Q4（﹣2， ）．

说明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M．

∵x=﹣，

∴P（，0）．

∴OP=．

由题意得；∠APQ1=90°，PA=PQ1．

∴∠OPA+∠CPQ1=90°．

∵∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OAP=∠MPQ1．

在△AOP和△PMQ1中，

，

∴△AOP≌△PMQ1．

∴Q1M=0P=，PM=OA=2

∴OM=OP+PM=+2=．

∴点Q1的坐标为（， ）．

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