Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交 于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°， ①当E是半径OA中点时，切线长DC=cm：
②当AE=cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC．

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵PE⊥AB，

∴∠PEA=90°，

∴∠OAC+∠APE=90°，∠OCA+∠PCD=90°，

∴∠APE=∠PCD，

∵∠APE=∠CPD，

∴∠PCD=∠CPD，

∴DC=DP．

（2）4 ；3
【解析】解：（2）①连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵∠A=30°，AB=12，
∵AC=ABcos30°=6 ，
在Rt△APE中，∵AE= OA=3，
∴AP=AE÷cos30°=2 ，
∴PC=AC﹣AP=4 ，
∵∠APE=∠DPC=60°，DP=DC，
∴△DPC是等边三角形，
∴DC=4 ，
所以答案是4
． ②当AE=EO时，四边形AOCF是菱形．
理由：连接AF、OF．

∵AE=EO，FE⊥OA，
∴FA=FO=OA，
∴△AFO是等边三角形，
∴∠FAO=60°，∵∠CAB=30°，
∴∠FAC=30°，∠FOC=2∠FAC=60°，
∴△FOC是等边三角形，
∴CF=CO=OA=AF，
∴四边形AOCF是菱形，
∴AE=3cm时，四边形AECF是菱形．
所以答案是3．
【考点精析】本题主要考查了菱形的判定方法和垂径定理的相关知识点，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．