Question

【题目】△ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2，tan∠CAD=sin∠BAC，则BC= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，
设∠CAD=α，∠BAD=β，则∠CAB=α+β．
则有 ， ，且sin∠ADC=sin∠ADB，AB=2AC，可得sinα=2sinβ．
由题意知tan∠CAD=sin∠CAB，即tanα=sin（α+β）．
切化弦可得 ，
故sinα=sin（α+β）cosα，从而可得2sinβ=sin（α+β）cosα，
利用角的变形可得2sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα，
展开得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，两边同除以cosα（cosα≠0）
可得sin（α+β）=2cos（α+β）tanα，又因为tanα=sin（α+β），
化简得2cos（α+β）=1，故 ．
所以BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos（α+β）=3，故 ．
所以答案是：