Question

【题目】如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.

（1）求证：∠DAC＝∠DCE；

（2）若AE＝ED=2,求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为

【解析】分析：（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；

（2）先证明△DCE∽△DAC，求出CD的长，设⊙O的半径为x,则OA=OC=x，在Rt△OAD中，由勾股定理列方程即可求出半径的长.

详解：证明：（1）AD是⊙O的切线，

∴∠DAB＝90°，即∠DAC＋∠CAB＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠ABC＝90°，

∴∠DAC＝∠B，

∵OC＝OB，

∴∠B＝∠OCB＝∠DAC，

又∵∠DCE＝∠OCB，

∴∠DAC＝∠DCE；

解：（2） ∵∠DAC=∠DCE, ∠D=∠D，

∴△DCE∽△DAC，

∴即，

∴DC= .

设⊙O的半径为x,则OA=OC=x，

在Rt△OAD中，由勾股定理，得

，

解得x = ，

答：⊙O的半径为。