Question

【题目】如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）①如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）． ②如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：图2中结论PR+PQ= 仍成立．

证明：连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BCD=90°，

又∵CD=AB=3，BC=4，

∴BD= =5．

∵S△BCD= BCCD= BDCK，

∴3×4=5CK，

∴CK= ．

∵S△BCE= BECK，S△BEP= PRBE，

S△BCP= PQBC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，

∴ BECK= PRBE+ PQBC，

又∵BE=BC，

∴ CK= PR+ PQ，

∴CK=PR+PQ，

又∵CK= ，

∴PR+PQ= ；

（2）解：过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP，

S△BPE﹣S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，

BE=BC为两个底，PR，PQ 分别为高，图3中的结论是PR﹣PQ=

【解析】（1）②连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明；（2）图3中的结论是PR﹣PQ= ．
【考点精析】本题主要考查了三角形的面积和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握三角形的面积=1/2×底×高；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．