Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBD；
（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠DBC．

∵BC=DC，

∴∠2=∠DBC．

∴∠1=∠2．

∵BA⊥AD，BE⊥CD

∴∠BAD=∠BED=90°，

在△ABD和△EBD中 ，

∴△ABD≌△EBD（AAS）

（2）证明：由（1）得，AD=ED，∠1=∠2．

∵EF∥DA，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴EF=ED．

∴EF=AD．

∴四边形AFED是平行四边形．

又∵AD=ED，

∴四边形AFED是菱形．

【解析】（1）首先证明∠1=∠2．再由BA⊥AD，BE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°，然后再加上公共边BD=BD可得△ABD≌△EBD；（2）首先证明四边形AFED是平行四边形，再有AD=ED，可得四边形AFED是菱形．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．