Question

【题目】如图，抛物线 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1），D（2，8）；（2）（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）（2，）或（2，）．

【解析】

试题分析：（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；

（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；

（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．

试题解析：

（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为 ，∵=，∴D（2，8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，），则FG=||，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；

当点F在x轴下方时，有，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；

综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；

（3）如图2，设对称轴MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线的图象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=或n=，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，）或（2，）．