Question

【题目】综合：
（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；

（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，BM之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若DN=3 ，BM=3 ，求MN的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①，

在Rt△ABE和Rt△AGE中， ，

∴△ABE≌△AGE（HL），

∴∠BAE=∠GAE，

同理∠GAF=∠DAF，

∴∠EAF= =45°；

（2）解：如图②，

∵∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

由题意知△ABM≌ADH，

∴∠ADH=∠ABM=45°，AH=AM，

∴∠BDH=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠DAN+∠DAH=45°，

即∠NAH=45°，

在△AMN和△AHN中，

，

∴△AMN≌△AHN（SAS），

∴HN=MN，

在Rt△NDH中，NH2=DH2+ND2，

∴MN2=BM2+DN2

（3）解：如图③，由（2）中结论可知：MN2=BM2+DN2，

∵DN=3 ，BM=3 ，

∴MN= =9．

【解析】（1）由HL证明△ABE≌△AGE、△AGF≌△ADF即可，只需证明一对全等，另一对同理可证；（2）先证明△AMN≌△AHN，进而证明△NHD是直角三角形即可；（3）利用（2）中结论建立方程，解之即可．