Question

【题目】如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，连接AE、CD交于点F，连接BF．求证：

（1）AE＝CD；

（2）BF平分∠AFD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE，由“SAS”可证△ABE≌△CBD，可得AE＝CD；

（2）由全等三角形的性质可得S△ABE＝S△CBD，可求BM＝BN，由角平分线的性质可证BF平分∠AFD．

证明：（1）∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形

∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE

∴∠ABE＝∠CBD，且AB＝BC，BE＝BD，

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE＝CD；

（2）如图，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，

∵△ABE≌△CBD

∴S△ABE＝S△CBD，

∴AE×BM＝CD×BN

∴BM＝BN，且BM⊥AE，BN⊥CD

∴BF平分∠AFD.