Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，P是BC边上一动点，设BP=x，若能在AC边上找一点Q，使∠BQP=90°，则x的范围是 ．

Answer 1

【答案】6≤x≤8
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8， ∴AC= =10，
∵∠BQP=90°，
∴点Q在以PB为直径的圆⊙M上，
∵点Q在AC上，
∴AC与⊙M相切于点Q，
连结MQ，如图，

则MQ⊥AC，MQ=BM= x，
∵∠QCM=∠BCA，
∴Rt△CMQ∽Rt△CAB，
∴QM：AB=CM：AC，即 x：6=（8﹣ x）：10，
∴x=6．
当P与C重合时，BP=8，
∴BP=x的取值范围是：6≤x≤8，
所以答案是：6≤x≤8．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．