Question

【题目】如图，边长为a的正方形ABCD中，E、F是边AD,AB上两点（与端点不重合），且AE=BF.连接CE,DF相交于点M,

（1）当E为边AD的中点时，则DF的长为 （用含a的式子表示）

（2）求证：∠MCB+∠MFB=180°.

（3）点M能成为DF的中点吗？如果能，求出此时CM的长（用含a的式子表示）；如果不能，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析（3）不能

【解析】分析：（1）当E为边AD的中点时，则F也是AB的中点，在Rt△ADF中，利用勾股定理求出DF的长；
（2）首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△ADF≌△DCE，得到∠ADF=∠DCE，进而得出∠DME=90°，于是得到结论；
（3）假设点M成为DF的中点，利用垂直平分线的性质得到DC=CF，进而得到结论与题意不符．

详解：(1)∵E为边AD的中点，

∴F也为边AB边的中点，

∴AF=AB=a，

在Rt△ADF中，

AD2+AF2=DF2，

∴DF=；

(2)∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC=CD=AD，

又∵AE=BF，

∴AF=DE，

∵∠CDE=∠A=90°，

∴△ADF≌△DCE，

∴∠ADF=∠DCE，

∵∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠ADF+∠DEC=90°，

∴∠DME=90°，

∴∠MCB+∠MFB=180°；

(3)假设点M成为DF的中点，

∵∠DME=90°，

∴DF⊥CE，

∵M成为DF的中点，

∴CM是DF的垂直平分线，

∴DC=CF，

∵DC=BC≠CF，

∴点M不能成为DF的中点.