Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，．

(1)把矩形沿直线对折，使点落在点处，折痕分别与、、相交于点、、，求直线的解析式；

(2)若点在直线上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；N点坐标为：，，.

【解析】

（1）由含30度直角三角形性质，得OA=AC=12，然后求出OC，然后求得直线AC的解析式，由折叠知DE⊥AC，点F是AC中点，然后可以求得DE的解析式；

（2）分为①以OF，FM为边；②以FM为边，OF为对角线；③以OF为边，FM为对角线，三类进行讨论分析，然后可求N点坐标．

解：（1）根据题意，在直角三角形AOC中，∠AOC=90°，，，

∴，即点A为：（0，12），

由勾股定理，得，即点C为：（），

设直线AC的方程为，把A、C坐标代入，得

，解得：，

∴直线AC的方程为：，

根据折叠的性质，有DE⊥AC，点F是AC中点，

∴直线DE的斜率为：，点F为（），

则设直线DE的解析式为，把点F代入，得

，解得：，

∴直线DE的解析式为：；

（2）存在；

①以OF，FM为边，如图

由（1）知，直线DE的解析式为：，

令，则，

∴点D坐标为：，

∵ONMF是菱形

∴OF=ON，ON∥DE

∴直线ON的解析式为：，

设N点坐标为：（），

∴，，

∴，

解得：，

∴N点坐标为：；

②以FM为边，OF为对角线；连接AD，CE，如图：

由折叠知，四边形ADCE是菱形，

∴AD=CD=，

∴∠DAC=∠DCA=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠OAD=∠DAC，AD=AD，∠AOD=∠AFD=90°，

∴△AOD≌△AFD，

∴AO=AF，OD=FD，

∴AD是OF 的垂直平分线，

∵四边形ONFM是菱形，

∴MN是OF的垂直平分线，

∴M与D重合，即M为，

设N为，

∵OF与MN互相平分，

∴，，

解得：，

∴N点坐标为：；

③以OF为边，FM为对角线，如图：

∵直线DE的解析式为：，

∴直线DE与y轴的交点为（0，-12），

∵四边形OFNM是菱形，，

∴OM=OF=12，

∴点M的坐标为（0，-12），

∵OM∥FN，OM=FN=12，且点F为（），

∴N点坐标为：；

综合上述，N点坐标为：，，.