Question

【题目】【问题情景】利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．

例如：张老师给小聪提出这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？

小聪的计算思路是：

根据题意得：S△ABC=BCAD=ABCE．

从而得2AD=CE，∴

请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：

（1）【类比探究】

如图2，在ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，

求证：BO平分角AOC．

（2）【探究延伸】

如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PAPB=2AB．

（3）【迁移应用】

如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5+

【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．

同理：EM+EN=AB

详解：证明：（1）如图2， ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S△ABF=SABCD，S△BCE=SABCD， ∴S△ABF=S△BCE，

过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H， ∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，

∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH， ∵AF=CE， ∴BG=BH，

在Rt△BOG和Rt△BOH中，， ∴Rt△BOG≌Rt△BOH， ∴∠BOG=∠BOH，

∴OB平分∠AOC，

（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F， ∵m∥n， ∴PF⊥AC，

∴∠CFP=∠BGP=90°， ∵点P是CD中点，

在△CPF和△DPG中，， ∴△CPF≌△DPG， ∴PF=PG=FG=2，

延长BP交AC于E， ∵m∥n， ∴∠ECP=∠BDP， ∴CP=DP，

在△CPE和△DPB中，， ∴△CPE≌△DPB， ∴PE=PB，

∵∠APB=90°， ∴AE=AB， ∴S△APE=S△APB，

∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，

∴AB=AP×PB， 即：PAPB=2AB；

（3）如图4，延长AD，BC交于点G， ∵∠BAD=∠B，

∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，

设CF=x（x＞0）， ∴BF=BC+CF=x+2， 在Rt△ABF中，AB=，

根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2， 在Rt△ACF中，AC=，

根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，

∴34﹣（x+2）2=26﹣x2， ∴x=﹣1（舍）或x=1， ∴AF==5，

连接EG， ∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），

∴DE+CE=AF=5， 在Rt△ADE中，点M是AE的中点， ∴AE=2DM=2EM，

同理：BE=2CN=2EN， ∵AB=AE+BE， ∴2DM+2CN=AB， ∴DM+CN=AB，

同理：EM+EN=AB ∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]

=（DE+CN）+AB=5+．