Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E。

（1）写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个说明理由。
（2）直接写出BD，CE，DE之间的数量关系。
（3）若DE=5cm，CE=8cm，BF=24cm，求△BDF的面积。

Answer 1

【答案】
（1）解：△DBF、△ECF

以说明△DBF为例：

∵BF平分∠ABC

∴∠DBF=∠CBF

∵DF∥BC

∴∠CBF=∠DFB

∴∠DBF=∠DFB,即△DBF为等腰三角形。

（2）解：BD=DE+CE
理由如下：
因为△DBF、△ECF为等腰三角形
BD=FD，CE=EF
DF=DE+EF=DE+CE
所以BD=DE+CE
（3）解：
如图，做DG⊥BF与G
∵BD=FD
∴FG=BF=12cm
又DF=DE+CE=5+8=13cm
由勾股定理得DG=5cm
S△BDF=BF×DG=×24×5=60cm
答：△BDF的面积为60cm。
【解析】（1）由角平分线加平行线易得等腰三角形，所以由图易得△DBF、△ECF为等腰三角形。
（2）由等腰三角形的性质，利用等量代换易得BD=DE+CE
（3）作BF边上的高，由勾股定理得到高为5。计算得到△BDF的面积为60。