Question

【题目】已知抛物线的解析式为y=﹣ x2+bx+5．
（1）当自变量 x≥2时，函数值y 随 x的增大而减少，求b 的取值范围；
（2）如图，若抛物线的图象经过点A（2，5），与x 轴交于点C，抛物线的对称轴与x 轴交于B．

①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P，使得∠PAB=∠ABC？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线的对称轴为：x=10b，

由题意可知：x≥2时，函数值y 随 x的增大而减少，

∴10b≤2，

∴b≤

（2）

解：①将A（2，5）代入抛物线的解析式中，

∴5=﹣ ×4+2b+5，

∴b= ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+5，

②由于∠PAB=∠ABC，

当P在对称轴的左侧时，

此时∠PAB=∠ABC，

∴PA∥BC，

∴P的纵坐标与A的纵坐标相同，

∴P（0，5），

当P在对称轴的右侧时，

连接AP并延长交x轴于E，

此时∠PAB=∠ABC

∴AE=BE，

过点A作AG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，过点E作EF⊥AB于点F，

∵B（1，0），A（2，5），

∴AG=5，BG=1，

∴由勾股定理可知：AB= ，

∵AE=BE，EF⊥AB，

∴BF= AB= ，

∵cos∠ABC= = ，

∴cos∠ABC= = ，

∴BE=13，

∴GE=BE﹣BG=12，

∴tan∠PEG= = ，

设P（x，﹣ x2+ x+5），

∵E（14，0），

∴HE=14﹣x，PH=﹣ x2+ x+5，

∴tan∠PEG= = ，

即 = ，

解得：x=2（舍去）或x= ，

∴P（ ， ）

综上所述，P（0，5）或P（ ， ）

【解析】（1）由题意可知：对称轴只需要小于或等于2即可，从而可求出b的范围；（2）①将A代入抛物线解析式即可求出b的值．②由于∠PAB=∠ABC，且P在抛物线上，故需要对P的位置进行分类讨论即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．