Question

【题目】如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A、B 及 的中点F 重合），连接OM．过点M 作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过点M作⊙O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN．
（1）探究：如图一，当动点M在 上运动时；

①判断△OEM∽△MDN是否成立？请说明理由；
②设 =k，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
③设∠MBN=α，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）拓展：如图二，当动点M 在 上运动时；

分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

Answer 1

【答案】
（1）

解：①△OEM∽△MDN成立，理由如下：

∵四边形BCDE是正方形，

∴BE=BC，∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°，

∴∠EOM+∠EMO=90°，

∵MN是⊙O的切线，

∴MN⊥OM，

∴∠OMN=90°，

∴∠DMN+∠EMO=90°，

∴∠EOM=∠DMN，

∴△OEM∽△MDN；

②k值为定值1；理由如下：

作BG⊥MN于G，如图一所示：

则BG∥OM，∠BGN=∠BGM=90°，

∴∠OMB=∠GBM，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠OBM=∠GBM，

在△BME和△BMG中， ，

∴△BME≌△BMG（AAS），

∴EM=GM，BE=BG，

∴BG=BC，

在Rt△BGN和Rt△BCN中， ，

∴Rt△BGN≌Rt△BCN（HL），

∴GN=CN，

∴EM+NC=GM+NC=MN，

∴k= = =1；

③设∠MBN=α，α为定值45°；理由如下：

∵△BME≌△BMG，Rt△BGN≌Rt△BCN，

∴∠EBM=∠GBM，∠GBN=∠CBN，

∴∠MBN= ∠EBC=45°，

即α=45°

（2）

解：（1）中的三个结论保持不变；理由同（1），

作BG⊥MN于G，如图二所示．

【解析】（1）①由正方形的性质得出BE=BC，∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°，由切线的性质和直角三角形的性质证出∠EOM=∠DMN，即可得出△OEM∽△MDN；②作BG⊥MN于G，则BG∥OM，∠BGN=∠BGM=90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠OBM=∠GBM，由AAS证明△BME≌△BMG，得出EM=GM，BE=BG，证出BG=BC，由HL证明Rt△BGN≌Rt△BCN，得出GN=CN，证出EM+NC=GM+NC=MN，即可得出结论；③由全等三角形的性质得出∠EBM=∠GBM，∠GBN=∠CBN，求出∠MBN= ∠EBC=45°即可；（2）（1）中的三个结论保持不变；解法同（1）．