Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E为线段BC上一点，AE交CD于G，且GC＝GE，EF⊥BC交AB于点F．

（1）求证：AE2＝AFAB；

（2）连FG，若BE＝2CE，求tan∠AFG；

（3）如图2，当tanB＝　 　时，CE＝FE（请直接写出结果，不需要解答过程）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠AFG＝；（3）．

【解析】

（1）先证明∠AEF=∠B，然后再证明△AEF∽△ABE，最后根据相似三角形的性质即可证明；

（2）设CE=a.则BE=2a，证明△AEC∽△BAC，得到AC=a,易得∠AFG=60°，最后根据特殊角的三角函数值求解即可；

（3）设BE=a，CE=EF=b，证明 △AEC∽△BAC.得到AC=，证明△BEF∽△BCA得到a、b的关系，最后根据正切的定义解答即可．

（1）证明：∵GC＝GE，

∴∠GCE＝∠GEC，

∵CD⊥AB，

∴∠DCE+∠B＝90°，

∵EF⊥BC，

∴∠GEC+∠AEF＝90°，

∴∠AEF＝∠B，又∠EAF＝∠BAE，

∴△AEF∽△ABE，

∴＝，

∴AE2＝AFAB；

（2）设CE＝a，则BE＝2a，

∵∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，

∴∠DCB＝∠CAB，

∵∠GCE＝∠GEC，

∴∠CAB＝∠GEC，又∠ACE＝∠BCA＝90°，

∴△AEC∽△BAC，

∴＝，即＝，

解得，AC＝a，

∴∠CAE＝∠BAE＝∠AEF＝30°，

∴FA＝FE，

∵∠GAC＝∠GCA＝30°，

∴GA＝GC，

∵GC＝GE，

∴GA＝GE，又FA＝FE，

∴∠AFG＝60°，

∴tan∠AFG＝；

（3）设BE＝a，CE＝EF＝b，

∵△AEC∽△BAC，

∴＝，即＝，

解得，AC2＝b（a+b），

∴AC＝，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴＝，即＝，

整理得，b2+ab﹣a2＝0，

则（）2+﹣1＝0，

解得：＝，

∴tanB＝＝

故答案为：．