Question

【题目】已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与y轴交于C点，交x轴于A、B，且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线l：y＝x+b（b＜0）交x轴于M，交y轴于N．将△MON沿直线l翻折，得到△MPN，点O的对应点为P．若O的对应点P恰好落在抛物线上，求直线l的解析式；

（3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，向下平移t个单位，得到新抛物线C1．若直线y＝m与新抛物线C1交于P、Q两点，点M是新抛物线C1上一动点，连接PM，并将直线PM沿y＝m翻折交新抛物线C1于N，过Q作QT∥y轴，交MN于点T，求的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）直线l的表达式为：y＝x﹣；（3）1．

【解析】

（1）OB＝OC＝3a，故点B（3a，0），将点B的坐标代入y＝ax22ax3a，即可求解；

（2）求出点P的坐标（﹣b，b），将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（3）计算xP+xM＝k，同理可得：xP+xN＝﹣k，而xT＝xQ＝﹣xP，而TH∥MG，故，即＝＝1．

解：（1）∵c＝﹣3a，

∴OB＝OC＝3a，故点B（3a，0），

将点B的坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3a并解得：a＝1或﹣（舍去﹣），

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）连接OP，交MN于点K，则OP⊥MN，

则直线OP的表达式为：y＝﹣2x，而直线MN的表达式为：y＝x+b，

联立上述两个表达式并解得：x＝﹣b，则点K（﹣b，b），

∵点K是OP的中点，由中点公式得：点P的坐标为（﹣b，b），

将点P的坐标代入抛物线表达式得：（﹣b）2﹣2（﹣b）﹣3＝b，解得：b＝﹣

（不合题意值已舍去）；

故直线l的表达式为： y＝x﹣；

（3）平移后抛物线的表达式C1：y＝x2﹣4﹣t①，

设直线PM的表达式为：y＝kx+c②；则PN的表达式为：y＝﹣kx+d，

联立①②并整理得：x2﹣kx﹣（4+t+c）＝0，

∴xP+xM＝k，

同理可得：xP+xN＝﹣k，而xT＝xQ＝﹣xP，

如图2，过点N作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点G，延长TQ交NG于点H，

∴TH∥MG，故，即＝＝1．