Question

【题目】如图，△ABC中，AC为⊙O的直径，点D在BC上，AC＝CD，∠ACB＝2∠BAD

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）连接OD，若tanB＝，求tan∠ADO．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）设线段AD与⊙O交于E，连接CE，根据AC为⊙O的直径，可得CE⊥AD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠ACD＝2∠ACE，根据∠ACB＝2∠BAD，从而得出∠ACE＝∠DAB，再根据∠CAE＝90°，可推出∠CAB＝90°，即可证明AB与⊙O相切；

（2）延长CE交AB于M，则CM为AD的垂直平分线，连接DM，通过证明△ACM≌△DCM（SSS），可得∠BDM＝90°，再根据锐角三角函数和中位线的性质求解即可．

（1）证明：设线段AD与⊙O交于E，连接CE，

∵AC为⊙O的直径，

∴CE⊥AD，

∵AC＝CD，

∴∠ACD＝2∠ACE，

∵∠ACB＝2∠BAD，

∴∠ACE＝∠DAB，

∵∠CAE＝90°，

∴∠CAE+∠DAB＝90，

∴∠CAB＝90°，

∴AB与⊙O相切；

（2）解：∵AB与⊙O相切，

∴∠CAB＝90°，

延长CE交AB于M，则CM为AD的垂直平分线，连接DM，

∴DM＝AM，

∵AC＝CD，CM＝CM，

∴△ACM≌△DCM（SSS），

∴∠CDM＝∠CAB＝90°，

∴∠BDM＝90°，

∵tanB＝，

∴设AM＝MD＝3a，DB＝4a，MB＝5a，

AB＝8a，AC＝6a，

∴tan∠ACM＝tan∠EAM＝，

∴CE＝2AE，AE＝2EM，

设EN＝k，

∴AE＝DE＝2k，CE＝4k，

过O作ON⊥AD于N，

∴ON∥CE，

∴ON＝CE＝2k，AN＝AE＝k，

∴DN＝3AN＝3k，

∴tan∠ADO＝＝．