Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B,C在AE的异侧，BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.

(1)△ABD与△CAE全等吗？BD与DE+CE相等吗？请说明理由。

(2)如图2，若直线AE绕点A旋转到图②所示的位置（BD<CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请说明理由

(3)如图3，若直线AE绕点A旋转到图③所示的位置（BD>CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？

(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达BD与DE、CE的数量关系.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)BD=DE-CE，理由见解析； (3)BD=DE-CE；理由见解析；(4) 当点B、C在AE异侧时，BD=DE+CE；当点B、C在AE同侧时，BD=DE-CE．

【解析】

（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，则有一个角及斜边相等，则可判定Rt△BAD≌Rt△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；

（2）由题中条件同样可得出Rt△BAD≌Rt△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；

（3）同（2）的方法即可得出结论．

（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．

（1）证明：在△ABD和△CAE中，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3．

又∠4=∠5=90°，AB=AC，

∴△ABD≌△CAE.（AAS），

∴BD=AE，AD=CE．

又AE=AD+DE，

∴AE=DE+CE，

即BD=DE+CE．

（2）BD=DE-CE．

证明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°．

又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，

∴△ADB≌△CEA．

∴BD=AE，AD=CE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD，

即BD=DE-CE．

（3）同（2）的方法可证：BD=DE-CE．

（4）当点B、C在AE异侧时，BD=DE+CE；当点B、C在AE同侧时，BD=DE-CE．