Question

【题目】（1）如图 1 所示，△ ABC 和△ AEF 为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点 A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠AEB 的度数．

（2）如图 2，在△ ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N 为 BC 上的两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF.求证：MN= NC+BM（提示：旋转前后的图形全等）

Answer 1

【答案】（1）∠AEB＝150°；（2）见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出AE＝AF＝EF＝3，AB＝AC，∠AFE＝60°，∠BAC＝∠EAF＝60°，求出∠BAE＝∠CAF，证出△BAE≌△CAF，得出CF＝BE＝4，∠AEB＝∠AFC，求出CE2＝EF2＋CF2，得出∠CFE＝90°，即可得出结果；

（2）根据将△ABM绕A点逆时针旋转90°，得到△ACF，可知AM＝AF，CF＝BM，∠BAM＝∠CAF，∠B＝∠ACF，求出∠NAF＝∠MAN，证出△MAN≌△FAN，得出MN＝FN，求出∠FCN＝90°，由勾股定理得出NF2＝CF2＋CN2即可解决问题．

解：（1）如图1所示：

∵△ABC和△AEF为等边三角形，

∴AE＝AF＝EF＝3，AB＝AC，∠AFE＝60°，∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF＝60°∠CAE，

在△BAE和△CAF中，，

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴CF＝BE＝4，∠AEB＝∠AFC，

∴EF＝3，CE＝5，

∴CE2＝EF2＋CF2，

∴∠CFE＝90°

∵∠AFE＝60°，

∴∠AFC＝90°＋60°＝150°，

∴∠AEB＝∠AFC＝150°；

（2）如图2所示：

∵将△ABM绕A点逆时针选择90°，得到△ACF，

∴AM＝AF，CF＝BM，∠BAM＝∠CAF，∠B＝∠ACF，

∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠NAF＝∠CAN＋∠FAC＝∠CAN＋∠BAM＝90°45°＝45°＝∠MAN，

在△MAN和△FAN中，，

∴△MAN≌△FAN（SAS），

∴MN＝FN，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠B＝∠ACF，

∴∠ACF＝45°，

∴∠FCN＝90°，

由勾股定理得：NF2＝CF2＋CN2，

∵CF＝BM，NF＝MN，

∴MN2＝NC2＋BM2．