Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
（1）求AD的长；
（2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD= ∠CAB=30°，

在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，

∴AD=2CD=6．

（2）解：∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵∠EAD=∠ADF=∠DAF，

∴AF=DF，

∴四边形AEDF是菱形，

∴AE=DE=DF=AF，

在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°，

∴DE= =2 ，

∴四边形AEDF的周长为8 ．

【解析】（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题；（2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题；
【考点精析】本题主要考查了平行线的性质和含30度角的直角三角形的相关知识点，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半才能正确解答此题．