Question

【题目】（本题满分8分）

在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．

旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）

若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明.

Answer 1

【答案】图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由见解析；图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’，理由见解析.

【解析】

试题分析：图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；

图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=AC′，于是得到结论．

试题解析：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，

∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，

∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，

∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

在△AOC′与△BOD′中，

，

∴△AOC′≌△BOD′，

∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，

∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，

∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，

∴AC′⊥BD′；

图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’

理由：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，

∵∠ABC=60°，

∴∠ABO=30°，

∴OB=OA，OD=OC，

∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，

∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，

∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，

∴，

∴△AOC′∽△BOD′，

∴，∠OAC′=∠OBD′，

∴BD′=AC′，

∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，

∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，

∴AC′⊥BD′．