Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与轴相交于A、B两点，与轴相交于点C，OA=1，OC=3，连接BC．

（1）求b的值；

（2）点D是直线BC上方抛物线一动点（点B、C除外），当△BCD的面积取得最大值时，在轴上是否存在一点P，使得|PB﹣PD|最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若在平面上存在点Q，使得以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=2，c=3；（2）P（0，）；（3） （-，），（，-），（，），

【解析】

（1）根据OA=1，OC=3得出点A和C的坐标，代入抛物线的解析式列方程组可得b的值；（2）写出抛物线的解析式，利用三角形面积公式可知，当底边BC一定时，高最大时其△BCD的面积最大，即作BC的平行线，其平行线的距离最大时，即平行线l与抛物线有一个交点时，交点为D，利用方程组的解可得D的坐标，最后根据三角形的三边关系确定当P、B、D三点共线时，|PB﹣PD|最大，利用待定系数法求直线BD的解析式，与y轴的交点就是点P；（3）如图4，画出平行四边形，有三种情况：根据平移规律确定Q的坐标．

（1）∵OA=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（0，3），
把A（-1，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：
∵，
（2）由（1）得：抛物线y=-x2+2x+3，
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得：x=-1或3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，

，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
如图1，作直线l∥BC，

设直线l的解析式为：y=-x+b，
由题意可知：△BCD中边BC长一定，当△BCD的面积取得最大值时，即以BC为底边，其高最大，
也就是直线l与抛物线有一个交点时，三角形高最大，△BCD的面积最大，
则，

-x2+2x+3=-x+b，
x2-3x+b-3=0，
△=（-3）2-4×1×（b-3）=0，
，
∵P是y轴上任意一点，
如图2，|PB-PD|＜BD，
∴当P、B、D三点共线时，|PB-PD|最大，如图3，

（3）如图4，分三种情况：

①当CD为平行四边形的对角线时，