【题目】如图，在真角坐标系中，矩形0ABC的顶点A，C在坐标轴上，点B（4，2）；过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB、BC交于点M、N．

（1）求直线DE的函数表达式和点M，N的坐标；

（2）若函数y＝（k≠0，k为常数）经过点M，求该函数的表达式，并判定点N是否在该函数的图象上：

（3）求△OMN的面积S；

（4）若函教y＝（k≠0，k为常数）的图象与△BMN没有交点，清楚直接写出k的取值范圈，不需解答过程．

参考答案：

【答案】(1)y＝－x＋3，M(2，2)，N(4，1)；

(2)y＝，点N在反比例函数图象上；

(3)3；

(4)k＜0或0＜k＜4或k＞8．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，然后根据M的纵坐标是2，N的横坐标是4，即可求得M、N的坐标；

（2）利用待定系数即可求得反比例函数的解析式，然后把N的坐标代入解析式检验即可判断是否在反比例函数的图象上；

（3）根据△OMN的面积S=S梯形OCBM﹣S△OCN﹣S△BMN即可求解；

（4）根据经过M、N的反比例的函数的解析式，以及经过B的反比例函数的解析式，即可直接写出k的范围．

试题解析：解：（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，根据题意得： ，解得： ，则直线DE的解析式是：y=﹣x+3，令y=2，得到2=﹣x+3，解得：x=2，则M的坐标是（2，2），令x=4，解得：x=﹣2+3=1，则N的坐标是（4，1）；

（2）把（2，2）代入得；k=4，则反比例函数的解析式是： ，当x=4时，y=1，则N在的图象上；

（3）S梯形OCBM=（BM+OC）BC=（2+4）2=6，S△OCN=OCCN=×4×1=2，S△BMN=BNBM=×1×2=1，则△OMN的面积S=6﹣2﹣1=3；

（4）经过M的反比例函数的解析式是： ，同时经过点N，则当0＜k＜4时，函数与△BNM没有交点；

经过点B的反比例函数的解析式是： ，则当k＞8时，函数与△BMN没有交点；

当k＜0时，函数图象在二、四象限，则与△BMN没有交点．

故k的范围是：0＜k＜4或k＞8或k＜0．

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