Question

【题目】如图1，已知：在矩形ABCD中，ABcm，AD＝9cm，点O从A点出发沿AD以acm/s的速度移向点D移动，以O为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M（点M在点O右侧）．同时点E从C点出发沿CD以cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为点G． 若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G能与点M重合．设运动时间为t（0＜t≤3）秒．

（1）求a的值；

（2）在运动过程中，

①当直线FG与⊙O相切时，求t的值；

②是否存在某一时刻t，使点G恰好落在⊙O上（异于点M）？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=2cm/s；（2）①t=s或s时，直线FG与⊙O相切；②t=s时，点G在⊙O上．

【解析】

（1）如图1中，当点G在AD上时，首先证明∠FEC=∠FEG=∠GED=60°，由EC=EG=t，DE=t，可得t+t=3，解方程即可；
（2）①如图2中，作GQ⊥AD于Q，GR⊥CD于R，QG的延长线交BC于P，FG的延长线交AD于T，解直角三角形求出TD，然后分情况讨论，分别列出方程求出相切时的时间；
②如图5中，作GN⊥AD，则DN=t，ON=DN-OD=t-（9-2t）=t-9，NG= ，OG=2，根据OG2=ON2+NG2，构建方程即可.

解：（1）如图1中，当点G在AD上时．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AB=3，AD=9，
∴tan∠BDA= ，
∴∠ADB=30°，
∵BC∥AD，EF∥BD，
∴∠CFE=∠CBD=∠ADB=30°，
∴∠FEC=∠FEG=60°，
∴∠GED=60°，
∵CE=EG=t，
在Rt△GED中，DE=t，
∴t+t=3，
∴t=2，
∴CE=EG=2，DE=，DG=3，AG=6，
∵在整过移动过程中△EFG的直角顶点G能与点M重合，
∴2a+2=6，
∴a=2cm/s．
（2）①如图2中，作GQ⊥AD于Q，GR⊥CD于R，QG的延长线交BC于P，FG的延长线交AD于T．

由题意CE=EG=t，ER=t，QD=PC=RG=t，QG=DR=3-t-t=3-t，
在Rt△GQT中，∵∠TGQ=30°，
∴QT=QGtan30°=3-t，
∴TD=t-（3-t）=3t-3，
如图3中，当⊙O与FG相切于点N时，易知OA=2t，OT=，TD=3t-3，

则有2t++3t-3=9，
解得t= ．
如图4中，当⊙O再次与FG相切时．

由OA+DT-OT=AD，可得2t+3t-3-=9，
解得t=
综上所述，t=s或s时，直线FG与⊙O相切
②如图5中，当点G在⊙O上时，

作GN⊥AD，则DN=t，ON=DN-OD=t-（9-2t）=t-9，NG= ，OG=2，
∵OG2=ON2+NG2，
∴（t-9）2＋（ ）2=4，
整理得：19t2-90t+104=0
∴（t-2）（19t-52）=0，
∴t= 或t=2（舍弃）
∴t=s时，点G在⊙O上．