Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴，y轴分别交于点A（8，0），B（0，4），点C的坐标为（3，0），动点D是射线BO上一个动点，连结CD，过点C作CD⊥FC，交一次函数图象于点F．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）过点F作FE⊥x轴，垂足为点E，当△OCD与△EFC全等时，求出满足条件的点F的坐标；
（3）点D在运动过程中，是否存在使△ACF是等腰三角形？若存在请求出点F的坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4；（2）（2，3）；（3）存在，（0，4）或（8-2 ，）

【解析】

（1）利用待定系数法，由点A（8，0），B（0，4）即可求出直线解析式．
（2）△OCD与△EFC全等分为两种情况，由全等得出线段EF或CE长度，进而求出点F的横坐标或纵坐标，代入直线解析式就可以求出点F的坐标．
（3）△ACF是等腰三角形，可以分三种情况讨论，根据等腰三角形性质求出F点的坐标．

（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
将点A（8，0），B（0，4）代入得：
，
解得：k=-，b=4．
故一次函数解析式为：y=-x+4．
（2）∵△OCD与△EFC全等，
∴可以分两种情况：△OCD≌△EFC或△OCD≌△ECF，

①当△OCD≌△EFC时，
OC=EF=3，
∴点F纵坐标为3，
将y=3代入直线解析式得：x=2，
∴F（2，3）．
②当△OCD≌△ECF，
OC=EC=3，
∴点F横坐标为6，
将x=6代入直线解析式得：y=1，
∴F（6，1）（不合题意舍弃）．
∴F点坐标为：（2，3）
（3）存在．
△ACF是等腰三角形，
①当CF=AF时，
根据等腰三角形三线合一性质，得点E为AC中点，
AC=5，CE=，
∴OE=，即F点横坐标为，
将x=代入一次函数得y=，
∴F（）．

此时点D会出现在点B的上方，与题意不符，舍去；

②当AF=AC时，OB=4，OA=8，
AB=4．
∵EF∥OB，
∴△AEF∽△AOB．
∴ ，
解得：EF=．
将y=代入直线解析式，得：x=8-2，
∴F（8-2，）．
③当CF=AC=5时，
∵OC=3，OB=4，
∴BC=5，
此时，CB=CF，点F与点B重合，

∴F(0,4) ，
∴点F坐标为：（0，4)或（8-2，）．