Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE=DF；②∠AEB=75°；③CE=2；④S正方形ABCD=2+，其中正确答案是（　　）

A.①②B.②③C.①②④D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

证明Rt△ABE≌Rt△ADF，根据全等三角形的性质得到BE=DF；根据等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质求出∠AEB；根据等腰直角三角形的性质求出CE；根据勾股定理求出正方形的边长．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，

∴BE=DF，①说法正确；

∵CB=CD，BE=DF，

∴CE=CF，即△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∵∠AEF=60°，

∴∠AEB=75°，②说法正确；

如图，∵△CEF为等腰直角三角形，EF=2，

∴CE=，③说法错误；

设正方形的边长为a，则DF=a-，

在Rt△ADF中，

AD2+DF2=AF2，即a2+(a-)2=4，

解得a=或a=（舍去），

则a2=2+，即S正方形ABCD=2+，④说法正确，

故选C．