Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使△DMB和△BCE相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的解析式为y=（x+3）（x+n），将点C的坐标代入得：3n=﹣3，解得n=﹣1．

∴抛物线的解析式为y=（x+3）（x﹣1）即y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）

（2）

解：如图1所示：过点E作ED⊥BC，垂足为D．

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴OC=OB=3．

∴∠OCB=∠OBC=45°，BC=3

∵点E与点C关于抛物线的对称轴对称，

∴CE⊥OC，

∴∠DCE=45°．

∵ED⊥CD，

∴△DEB为等腰直角三角形．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴为x=1．

∴CE=2．

∴CD=ED= ．

∴BD=BC﹣CD=2 ．

∴tan∠CBE= =

（3）

解：如图2所示：

∵B（3，0），D（﹣1，﹣4），

∴A（﹣1，0），F（1，0）．

∴FB=2，DF=4．

∴tan∠FDB= ．

∴tan∠FDB=tan∠CBE．

∴∠FDB=∠CBE．

∴当 = 时，△BCE∽△DBM．

∴ = ，解得：MD= ．

∴点M的纵坐标=﹣4+ =﹣ ．

∴M（1，﹣ ）．

如图3所示：

∵∠FDB=∠CBE，

∴当∠BMD=∠BCE=45°时，△DMB∽△BCE．

∴FM=FB=2．

∴M（1，2）．

综上所述，当点M的坐标为（1，﹣ ）或（1，2）时，△DMB和△BCE相似

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=（x+3）（x+n），将点C的坐标代入可求得n的值，则可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）过点E作ED⊥BC，垂足为D．由题意可得到△OBC和△CDE均为等腰直角三角形，然后求得CE、BC、DE的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）先证明tan∠FDB=tan∠CBE，从而得到∠FDB=∠CBE，当 = 或当∠BMD=∠BCE=45°时，△DMB和△BCE相似．