Question

【题目】如图8,在平面直角坐标系中,点A坐标为（0,3）,点B（,）是以OA为直径的⊙M上的一点,且tan∠AOB=,BH⊥轴,H为垂足,点C（,）.

（1）求H点的坐标;

（2）求直线BC的解析式;

（3）直线BC是否与⊙M相切?请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) H（0,）; (2) =- +4;(3)见解析.

【解析】分析：

（1）由已知易得tan∠AOB=，BH=，由此即可解得m=，从而可得点H的坐标；

（2）由（1）可知点B的坐标为结合点C的坐标即可由待定系数法求得直线BC的解析式；

（3）设直线BC与两坐标轴的交点分别为E、F，由（2）中所得解析式可求得点E、F的坐标，过点M作MN⊥BC于点N，由S△FME=EF·MN=FM·EO，可证得MN的长等于⊙M的半径，由此即可得到BC是⊙M的切线.

详解：

（1）由tan∠AOB=，得=，

∴OH=2BH，又B（,），即=2×=，

∴H点的坐标为H（0,）；

（2）设过点B（,）及点C（,）

的直线解析式为:=+,

把BC坐标分别代入,得:,

解得,

∴直线BC的解析式为:=- +4;

（3）BC与⊙M相切，理由如下

如下图，设直线BC：分别与轴轴交于点EF,

则点E的坐标为（3，0）点F的坐标为（0，4），

∴OE=3，OF=4，

∴EF=5，

过圆心M作MN⊥EF，垂足为N，连结ME，

∵S△FME=EF·MN=FM·EO,

∴得EF·MN=FM·EO，

∵⊙M的直径为3，

∴⊙M的半径OM=1.5，

∴MF=4-1.5=2.5，

∴MN==,

即圆心M到直线BC的距离等于⊙M的半径,

∴直线BC是⊙M的切线.