Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，

（1）求∠ACB的度数；

（2）HE=AF

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：(1)利用等边对等角可证：∠ACB=∠ABC，根据三角形内角和定理可以求出∠ACB的度数；

(2)连接HB，根据垂直平分线的性质可证AE⊥BC，BE=CE，再根据ASA可证：Rt△BDC≌Rt△ADF，根据全等三角形的性质可证：BC=AF，从而可以求出HE=BE=BC，因为AF=BC，所以可证结论成立.

试题解析：(1）∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵∠BAC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=（180°－∠BAC）=（180°－45°）=67.5°；

(2)连结HB，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，BE=CE，

∴∠CAE＋∠C=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠CBD＋∠C=90°，

∴∠CAE=∠CBD，

∵BD⊥AC，D为垂足，

∴∠DAB＋∠DBA=90°，

∵∠DAB=45°，

∴∠DBA=45°，

∴∠DBA=∠DAB ，

∴DA=DB，

在Rt△BDC和Rt△ADF中，

∴Rt△BDC≌Rt△ADF (ASA)，

∴BC=AF，

∵DA=DB，点G为AB的中点，

∴DG垂直平分AB，

∵点H在DG上，

∴HA=HB，

∴∠HAB=∠HBA=∠BAC=22.5°，

∴∠BHE=∠HAB ＋∠HBA =45°，

∴∠HBE=∠ABC－∠ABH=67.5°－22.5°=45°，

∴∠BHE=∠HBE，

∴HE=BE=BC，

∵AF=BC，

∴HE=AF.