Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣x2+2x+3中，令x=0可得y=3，

∴C（0，3），

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）

解：设直线BC的解析式为y=kx+b，则有 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），

∴PM=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t．

∴S△BCM= PM（ON+BN）= PMOB= ×3（﹣t2+3t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当t= 时，△BCM的面积最大，此时P点坐标为（ ， ）

（3）

解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

∴设Q（1，m），且C（0，3），N（ ，0），

∴CN= = ，CQ= = ，NQ= = ，

∵△CNQ为直角三角形，

∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况：

①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2=NQ2，

即（ ）2+（m2﹣6m+10）= +m2，解得m= ，

此时Q点坐标为（1， ）；

②当点Q为直角顶点时，则有NQ2+CQ2=CN2，

即（m2﹣6m+10）+ +m2=（ ）2，解得x= 或x= ，

此时Q点坐标为（1， ）或（1， ）；

③当点N为直角顶点时，则有NQ2+CN2=CQ2，

即（ ）2+ +m2=m2﹣6m+10，解得m=﹣ ，

此时Q点坐标为（1，﹣ ）；

综上可知Q点的坐标为（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，﹣ ）

【解析】（1）在抛物线解析式中，令x=0可求得C点坐标，令y=0则可求得A、B的坐标；（2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+3，可设P点坐标为（t，﹣t+3），则可表示出M点坐标，则可求得PM的长，从而可用t表示出△BCM的面积，再利用二次函数的性质可求得当△BCM的面积最大时t的值，可求得P点坐标；（3）由（2）可知N点坐标，设Q点坐标为（1，m），则可用m分别表示出QN、QC及CN，分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值，可求得Q点坐标．