Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且∠AEF=90°，求证：CF= AB．

Answer 1

【答案】证明：设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为BC中点，∴BE=CE=a，
∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2=5a2 ，
设CF=x，则DF=2a﹣x，由∠C=∠D=90°，
得 AF2=AD2+DF2=4a2+（2a﹣x）2 ， EF2=CE2+CF2=a2+x2 ，
∵∠AEF=90°，∴AF2=AE2+EF2 ，
即 4a2+（2a﹣x）2=5a2+a2+x2 ， 解得x= a，
∴CF= AB
【解析】设正方形ABCD的边长为2a，由E为BC中点，得到BE=CE=a，根据勾股定理得到AE2=AB2+BE2=5a2 ， 设CF=x，则DF=2a﹣x，由∠C=∠D=90°，根据勾股定理列方程得到4a2+（2a﹣x）2=5a2+a2+x2 ， 解得x= a，于是得到结论．