Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c（b，c 为常数）与x轴交于点A（﹣1，0），点 B（3，0），与y轴交于点C，其顶点为D，点P（不与点 A，B 重合）为抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线PA，PB分别于抛物线的对称轴交于M，N 两点，设M，N 两点的纵坐标分别为y1 ， y2 ， 求y1+y2的值；
（3）连接BC，BD，当∠PAB=∠CBD时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入得： ，

解得：b=﹣2，c=﹣3．

抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）解：由x=﹣ 得；抛物线的对称轴为x=1．

设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣3）．

设直线PA的解析式为y=kx+b．

将点P和点A的坐标代入得： ，解得：k=a﹣3，b=a﹣3．

∴直线PA的解析式为y=（a﹣3）x+a﹣3．

将x=1代入得：y1=2a﹣6．

设直线PB的解析式为y=k1x+b1．

将点P和点B的坐标代入得： ，解得：k=a+1，b=﹣3a﹣3．

∴直线PB的解析式为y=（a+1）x﹣3a﹣3．

将x=1代入得：y2=﹣2a﹣2．

∴y1+y2=﹣8．

（3）解：如图所示：

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．

∵将x=0代入抛物线的解析式得；y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

由两点间的距离公式可知：BC=3 ，DC= ，BD=2 ．

∵BC2+DC2=BD2，

∴△BCD为直角三角形．

∴tan∠CBD= = ．

设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣3）．

∵∠PAB=∠CBD，

∴ = ．

整理得：a﹣3= ．

解得：a=3 或a=2 ．

∴当a=2 时，a+1= ，则a2﹣2a﹣3= =﹣ ．

∴点P的坐标为（ ，﹣ ）．

当a= 时，a+1= ，则a2﹣2a﹣3= = ．

∴点P′的坐标为（ ， ）．

综上所述，点P的坐标为（ ，﹣ ）或（ ， ）

【解析】（1）用待定系数法，把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线，求出抛物线的解析式；（2）由抛物线的对称轴为x=1，得到直线PA的解析式和直线PB的解析式，求出y1+y2的值；（3）由抛物线的解析式得到抛物线的顶点坐标，求出C点坐标，根据两点间的距离公式求出BC、DC、BD的值，根据勾股定理的逆定理得到△BCD为直角三角形；根据三角函数值求出点P的坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.