Question

【题目】如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的圆与分别交于点，且．

（1）求证：是圆所在圆的切线；

（2）若，，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2).

【解析】分析：

（1）如下图，连接OE，由已知条件易证∠DAC=∠ACB=∠DCE，∠AEO=∠DAC，由此可得∠AEO=∠DCE，结合∠DCE+∠AEC=90°，可得∠AEO+∠DEC=90°从而可得∠CEO=180°-90°=90°，由此可得OE⊥CE，从而可得OE是⊙O的切线；

（2）由tan∠BAC=，BC=2可得AB=由此可得CD=，AC=，由∠DCE=∠ACB可得tan∠DCE=tan∠ACB=，则DE=DCtan∠DCE=1，这样在Rt△DCE中可得CE=，设⊙O的半径为r，在Rt△CEO中由勾股定理建立方程，解方程即可求得r的值.

详解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE，

连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，

∵∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠AEO+∠DEC=90°，

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE，

又OE是⊙O的半径，

∴直线CE与⊙O相切 ；

（2）∵tan∠BAC=，BC=2，

∴AB =，

∴AC=，

∵∠DCE=∠ACB，

∴tan∠DCE=tan∠ACB=，

∴DE=DCtan∠DCE=1，

在Rt△CDE中，CE= ，

设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，

即，

解得：.