Question

【题目】（操作发现）如图1，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，．

（1）请求出的度数？

（2）与相等吗？请说明理由；

（类比探究）如图2，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.

（3）直接写出_________度；

（4）若，，求线段的长度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相等，理由详见解析；（3）；（4）

【解析】

（1）根据全等三角形的判定得出，再由全等三角形的性质得到、，然后根据等腰三角形的判定和性质即可得解；

（2）根据全等三角形的判定得出，再由全等三角形的性质得证结论；

（3）根据全等三角形的判定得出，再由全等三角形的性质得到、，然后根据等边三角形的判定和性质即可得解；

（4）过点作于点交延长线于点，构造出，利用含角的直角三角形的性质求得，再根据勾股定理求得，最后由勾股定理即可求得答案．

解：（1）∵为等腰直角三角形，且

∴，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴，

∴；

（2）相等，理由如下：

∵，

∴

∴

在和中，

∴

∴ ．

（3）∵为等边三角形

∴，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴

∴；

（4）过点作于点交延长线于点，如图：

∵由（3）可知，，

∴，

∴

∴

∴，

∴．