Question

【题目】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 、 ；

(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O0,0、A3,0、B0,4，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；

(3)如图2，将ABC（ BC AB ）绕顶点 B 按顺时针方向旋转60，得到DBE ，连接 AD 、DC ，四边形 ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求DCB 的度数.

Answer 1

【答案】（1）矩形，正方形（答案不唯一）；（2）C（3,4），（4,3）；（3）∠DCB=30°.

【解析】

（1）根据矩形与正方形的性质可得答案；

（2）利用勾股定理可得AB=5，然后在格点中找满足OC=5的点即可；

（3）连接CE，根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，则BC=BE，因为∠CBE=60°，所以△BCE是等边三角形，则BC=CE，∠BCE=60°，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，则可得∠DCB的度数.

解：（1）矩形；正方形（答案不唯一）；

（2） ，

则C点坐标如图为：（3,4），（4,3）；

（3）连接CE，

由旋转的性质得：△ABC≌△DBE，则BC=BE，AC=BD，

∵∠CBE=60°，

∴△BCE是等边三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，

∵四边形ABCD为勾股四边形，其中DC、BC为勾股边，

∴，

∴ ，

∴∠DCE=90°，

∴∠BCD=∠DCE﹣∠BCE=90°﹣60°=30°.