Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的边OC 、OA 分别与 x 轴、 y 轴重合， AOC 90，BCO 45， AB // OC ， BC 6 ，点C 的坐标为 9,0.

（1）求点 B 的坐标；

（2）若直线 DE 交四边形的对角线 BO 于点 D ，交 y 轴于点 E ，且OE 2 ， OD 2BD ，求：

① ODE 的面积；

②点 D 的坐标.

（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点 P ，使以O 、E 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（﹣3，6）；（2）①S△ODE=2，②D（﹣2,4）；（3）存在，P点坐标为（﹣2,6），（﹣2,2）或（2，﹣4）.

【解析】

（1）过B点作BF⊥OC于点F，根据等腰直角三角形得到性质求得BF，CF的长即可得到B点坐标；

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，根据相似三角形的性质可得DG与OG的长，即可得D点坐标，再利用三角形的面积公式求得△ODE的面积即可；

（3）分别以DE，OD，OE为对角线作平行四边形，分情况进行讨论即可.

（1）过点B作BF⊥x轴于F，
在Rt△BCF中，

∵∠BCO=45°，BC=6，
∴CF=BF=6，
∵C 的坐标为（﹣9，0），
∴AB=OF=3，
∴点B的坐标为（﹣3，6）；

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，

∵AB∥DG，

∴△ABO∽△GDO，

∴，

∵OD 2BD，AB=3，AO=6，

∴DG=2，OG=4，

∴S△ODE=，

点D坐标为：（﹣2,4）；

（3）存在，如图2

①平行四边形OEP1D，此时DE为对角线，

∴DP1∥OE，DP1=OE=2，

则P1（﹣2,6）；

②平行四边形OEP2D，此时DO为对角线，

∴DP2∥OE，DP2=OE=2，

则P2（﹣2,2）；

③平行四边形OEP3D，此时OE为对角线，

∴OP3∥DE，OP3=DE，

则P3（2，﹣4）；

综上当P点坐标为（﹣2,6），（﹣2,2）或（2，﹣4）时，O、E、P、D为顶点的四边形是平行四边形.